[수학] 행렬의 기초

행렬의 기초

정수 순서쌍의 집합을 행(가로줄)과 열(세로줄)에 배열한 수학적 개념이다. 둘 이상의 변수로 정의되는 함수를 표현하기 위한 수학적 필수 요소로 성분을 이용하여 함수를 표현한다.

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• 표현
  숫자, 문자 등을 행과 열에 맞추어 직사각형으로 배열하고 괄호로 묶은 것이다.

 행렬을 구성하는 성분은 $a_{ij}$으로 표기한다.(i,j는 각각 행, 열이다.)
ex) 위 행렬의 1행 2열의 성분은 $a_{12}$ 으로 표기한다.
빨간 화살표를 주대각선, 그 위의 성분을 대각성분이라고 한다.

 

• 연산

-덧셈: 같은 꼴의 두 행렬에서 각 열과 행이 같은 값끼리 더한다.
ex) $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \\ \end{bmatrix}$
-뺄셈: 같은 꼴의 두 행렬에서 각 열과 행이 같은 값끼리 뺀다.
ex) $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix}$
-실수배: 모든 성분에 각각 실수배한다.
ex) 2×$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\\end{bmatrix}$ =$\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 6 & 8 \\\end{bmatrix}$

 

• 곱셈

-곱셈: 앞 행렬의 열의 개수와 뒤 행렬의 행의 개수가 같을 때, 앞 행렬의 i행의 성분과 뒤 행렬의 i열의 성분을 차례로 곱하여 더한다.
ex) $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$ × $\begin{bmatrix}a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}1 \times a + 2 \times c & 1 \times b + 2 \times d \\ 3 \times a + 4 \times c & 3 \times b + 4 \times d \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} a + 2c & b + 2d \\ 3a + 4c & 3b + 4d \\ \end{bmatrix}$
한마디로 A행렬×B행렬=C행렬 에서 C행렬의 1행 2열의 값은 A행렬의 1행의 값과 B행렬의 2열의 값을 차례대로 곱하여 더한 값이다.
이를 수식으로 정리한 것은 다음과 같다.
m×n 행렬 A와 n×r 행렬 B에 대하여 C = A× B일 때, $c_{ij} = \sum_{n}^{k=1}a_{ik}\times b_{kj}$ (단, 1<= i <=m, 1<= j <= r이다.)
※주의: 곱셈의 순서가 바뀌면 값도 달라진다.
ex) A×B≠B×A, A(B+C)≠AB+BC

-행렬의 곱셈이 각 성분의 곱이 아닌 이유 

 그 이유는 행렬의 곱이 둘 이상의 변수로 정의되는 함수를 합성하기 위해 만들어졌기 때문이다. 다음 예시를 통해 확인할 수 있다.

함수{ f(x,y)=(ax+by ,cx+dy) g(x,y)=(px+qy ,rx+sy) 와 행렬 $F = \begin{bmatrix}a & b \\c & d \\\end{bmatrix}$, $G = \begin{bmatrix} q & r \\ s & t \\ \end{bmatrix}$에 대하여 합성함수 f∙g와 행렬 곱 F × G의 값을 비교해보자.

이처럼 함수의 합성과 행렬의 곱에서 유사성을 확인할 수 있다.

 

 

• 다양한 행렬들

행렬 이름		예시	정의	특징
영행렬(O)			행렬의 모든 성분이 ‘0’인 행렬이다.	행렬 A ＋ 영행렬 O = 행렬 A 덧셈에 대하여 항상 똑같은 행렬이고 행렬 A × 영행렬 O = 영행렬 O 곱셈에 대하여 항상 영행렬이다.
단위행렬(E)			행렬의 대각성분이 모두 ‘1’이고 모든 나머지 성분이 ‘0’인 행렬	행렬 A × 영행렬 O = 영행렬 O 곱셈에 대하여 항상 똑같은 행렬이다.
정사각행렬 (Square)			행렬의 크기가 i×i인 행렬	-
대각행렬 (Diagonal)			행렬의 대각성분을 제외한 모든 나머지 성분이 ‘0’인 행렬	-
삼각행렬 (Triangular)	Upper Triangular		행렬의 주대각선을 포함하여 우측 상단, 혹은 좌측 상단의 모든 성분이 ‘0’인 행렬	Upper Triangular × Upper Triangular = Upper Lower Triangular × Lower Triangular = Lower
	Lower Triangular
전치행렬 ($A_{ij}^{T}$)			어떤 i×j꼴 행렬을 j×i꼴로 바꾼 행렬	$A_{ij}^{T} = A_{ji}$ $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix}^{T} = \begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{bmatrix}$
대칭행렬 (Symmetric)			어떤 행렬을 전치했을 때도 같은 행렬	$A_{ij}^{T} = A_{ij} = A_{ji}$

 

• 가우스-조던 소거법
   컴퓨터가 연립 방정식의 해를 알아내는 법이며 방정식의 개수가 증가할수록 유용하다. 이 방법을 이용해서 방정식의 해를 구해보자.

i) 먼저 연립방정식을 행렬 꼴로 만든다.

연립일차방정식  2x + y + 3z = 13  x - y + 2z = 5 2x + 2y + z = 9 는 2가지꼴의 행렬로 나타낼 수 있다.	1. 첨가행렬(Augmented Matrix) $\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 13 \\ 1 & -1 & 2 & 5 \\ 2 & 2 & 1 & 9 \\ \end{bmatrix}$
	2. 계수행렬과 상수행렬을 분리 $\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 5 \\ 2 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 13 \\ 5 \\ 9 \end{bmatrix}$

ii)하삼각행렬(Lower Triangular Matrix)로 만든다. 

순서	연산 과정	연산 결과
1. 1행과 2행 순서를 바꾼다.	$\begin{bmatrix} \downarrow  \textit{2} & \textit{1} & \textit{3} & \textit{13} \\ \uparrow 1 & -1 & 2 & 5 \\ 2 & 2 & 1 & 9 \\ \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 3 & 13 \\ 2 & 2 & 1 & 9 \\ \end{bmatrix}$
2. 2행과 3행의 첫번째 값이 0이 되도록 1행을 실수배하여 뺀다.
3. (2)의 결과값에서 2번째 행에 1/3를 곱한다.
4. 3행의 두번째 값이 0이 되도록 2행을 실수배하여 뺀다.
5. 3행의 세번째 값이 0이 되도록 (-3/5)를 곱한다.
6. 단위행렬의 모습이 될 때까지 위 과정을 반복한다.	행을 실수배하여 더하거나 뺌
7. 결과	x = 1, y = 2, z = 3

*케일리-해밀턴 정리(접은글)

 n차 정사각행렬이 특정한 꼴의 n차 방정식에 대한 해가 된다는 정리이다.
ex) $A=\begin{bmatrix}a & b \\c & d \\\end{bmatrix}$이고 A≠kE이면
A는 x² - (a+d)x + (ad-bc)E = 0의 해이다.(x = A) → A² - (a+d)A + (ad-bc)E = 0

해설:  서로 다른 두 식이 있다.
 A² + mA + nE = 0
 A² + m｀+ n｀E = 0
이 두 식을 빼면 (m - m｀)A + (n - n｀)E = 0이고 A≠kE이므로 
m = m｀ , n - n｀이다.
그렇다면 위의 두 식은 같은 식이고 A가 해가 되는 방정식의 형태는 2개 이상이 아니라 하나로 결정된다.(Unique)

 

• 행렬식
  정사각행렬을 수로 대응시킨 것이다. 행렬 A에 대하여 $detA$ 또는 $\left|A\right|$로 표기한다.

-행렬식 계산법

행렬	연산
1×1 행렬	$A = \begin{bmatrix}a\end{bmatrix}\to detA = a$
2×2행렬	$A = \begin{bmatrix}a & b \\c & d \\\end{bmatrix}\to detA = ad - bc$
3×3행렬 이상	$\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}\to detA = a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}$
일반화	$detA =\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\times a_{ij}M_{ij}$

사루스 법칙(3×3행렬)

 파란 선 위의 값은 각각 곱한 뒤에 더하고 빨간 선 위의 값은 각각 곱한 뒤에 뺀다.

-행렬식 특징

$det(B) = kdet(A)$	$\begin{vmatrix}\begin{bmatrix}ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\end{bmatrix}\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}k\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\end{bmatrix}\end{vmatrix}$
$det(B)=-det(A)$	$\begin{vmatrix}\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\end{bmatrix}\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\end{bmatrix} \end{vmatrix}$
$det(B)=det(A)$	$\begin{vmatrix} \begin{bmatrix} a_{11}+ka_{21} & a_{12}+ka_{22} & a_{13}+ka_{23} \\a_{21} &a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\end{bmatrix} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\end{bmatrix} \end{vmatrix}$
$det(C)=det(A)+det(B)$	$\begin{vmatrix}\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31}+b_{31} &a_{32}+b_{32} & a_{33}+b_{33} \\\end{bmatrix}\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\end{bmatrix}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\b_{31} & b_{32} & b_{33} \\\end{bmatrix}\end{vmatrix}$
$det(AB)=det(A)det(B)$	$\begin{vmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}b_{11} & a_{12}b_{12} & a_{13}b_{13} \\a_{21}b_{21} & a_{22}b_{22} & a_{23}b_{23} \\a_{31}b_{31} & a_{32}b_{32} & a_{33}b_{33} \\\end{bmatrix}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\begin{bmatrix}a_{11} &a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\end{bmatrix}\end{vmatrix}\times \begin{vmatrix}\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\end{bmatrix}\end{vmatrix}$
$det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$	$A^{-1}A=I \to det(A^{-1}A)=det(I) \to det(A^{-1})det(A)=1 \to det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$

• 역행렬($A^{-1}$)
   어떤 행렬을 곱해서 단위 행렬로 만드는 행렬이다. 사칙연산에서의 역수와 비슷한 역할을 하며 교환법칙이 성립한다.
   ex)$E^{-1}=E, (kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}, (AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$

-행 연산을 이용하여 행렬 구하기 
$$\begin{bmatrix}\begin{vmatrix}1 & -1 & 2 \\2 & -1 & 3 \\2 & 2 & 1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{vmatrix}\end{bmatrix}$$
 왼쪽의 행렬 A에 대하여 위와 같은 형태로 시작을 한다.
그리고 행렬 A에 대하여 가우스-조던 소거법을 시행하는데 오른쪽의 단위 행렬에도 똑같은 연산을 수행한다.
ex) 행렬 A의 2행에서 1행의 2배만큼 빼줬다면 단위행렬에서도 똑같이 수행한다.

※이때 주의해야 할 점은 대각 성분에 실수배를 해야 한다면 실수배를 먼저 계산하고 합·차를 계산한다.

-2×2 행렬인 경우
$A=\begin{bmatrix}a & b \\c & d \\\end{bmatrix} \to A^{-1}=\frac{1}{detA}\begin{bmatrix}d & -b \\-c & a \\\end{bmatrix}$

-역행렬의 존재 여부
 A에 가우스-조던 행렬을 수행했을 때 사다리꼴(Reduced Echelon Form)으로 결정되면 역행렬은 존재한다.
 A의 행렬식이 0이 아니면 역행렬은 존재한다.
 A의 대각성분 중 하나라도 0이라면 역행렬은 존재하지 않는다. 

$\left\{\begin{matrix}ax + by = m \\ cx+dy=n\end{matrix}\right. \to \begin{bmatrix}a & b \\c & d \\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}m \\n\end{bmatrix}$

에 대하여 직선의 기울기로 접근하면 역행렬의 존재 여부를 알 수 있다. 만약 두 직선의 기울기가 같다면, 즉 ad=bc이면 x와 y는 정의되지 않는다. 반면 두 직선의 기울기가 다르다면 즉 ad ≠ bc (행렬식 det(A)이 0이 아니면) 행렬 A의 역행렬은 존재한다.